Príklad 2.3.1: Pôsobisko
sily
sa posúva po krivke
. Vypočítajte prácu sily v časovom intervale t1 =
1 s, t2 = 3 s.
Riešenie: Zo
zadania príkladu vyplýva že sila nie je konštantná (mení sa s časom) a
jej smer sa mení vzhľadom ku posunutiu (pohyb po krivke). Pri výpočte práce použijeme definičný
vzťah
(1).
Na to, aby sme vedeli prácu vypočítať potrebujeme vedieť posunutie
, ktoré v našom prípade nie je známe, poznáme len
. Elementárne posunutie
vyjadríme pomocou
. Po dosadení a úprave dostaneme
(2),
kde
. Dosadením za
a
do vzťahu (2) pre prácu
(3)
Sila
vykoná prácu 144 J v danom časovom intervale.
|
Pri úprave vzťahu (3) v
predchádzajúco príklade sme použili skalárny súčin dvoch vektorov v
zložkovom tvare
|
Príklad
2.3.2: Akú prácu treba vykonať
pri stlačení nárazníkovej pružiny vagóna o x0 = 5 cm,
keď na jej stlačenie o x1 = 1 cm
treba silu F1 = 3.104 N a keď platí, že
sila je priamo úmerná skráteniu
pružiny?
Riešenie:
Zo zadania príkladu vyplýva, že sila je priamoúmerná skráteniu
pružiny,
čo matematicky vyjadruje F = kx. Sila mení svoju veľkosť, ale pôsobí
v smere skrátenia pružiny, na výpočet práce potrebnej na stlačenie nárazníkovej
pružiny vagóna použijeme
.
V našom prípade ds = dx, s1 = 0,
s2 = x0 a F = kx. Potom po
dosadení
(1)
a
úpravou práca
(2).
Konštantu k nepoznáme, ale z počiatočných podmienok príkladu (na
skrátenie o x0 = 5 cm
treba silu F1 = 3.104 N, čo zapíšeme F1 = kx1),
pre k vyplýva
(3).
Dosadením
(3) do (2) práca
Pri stlačení nárazníkovej pružiny o 5 cm treba vykonať prácu 3750 J.
Príklad
2.3.3: Strela hmotnosti 20 g zasiahne
rýchlosťou 400 ms-1 strom. Do akej hĺbky prenikne, ak
priemerný odpor dreva je F = 9000
N?
Riešenie:
Zaujíma nás ako hlboko prenikne strela do stromu, teda nás zaujíma dráha,
na ktorej strela zastaví. Na teleso pôsobí sila po dráhe, sila koná prácu,
dôsledkom ktorej sa mení rýchlosť strely, teda sa mení jej kinetická
energia. Potom na výpočet dráhy použijeme vzťah
W = D Ek
W = Ek2 - Ek1
(1)
kde Ek1 - kinetická energia na začiatku pohybu, Ek2
- kinetická energia na konci pohybu.
Prácu koná stála sila v opačnom smere ku dráhe, prácu môžeme vyjadriť
pomocou vzťahu (2.3.5), kde sila F bude mať opačné znamienko
W = - F s
. (2)
Dosadením (2) do (1)
- F s = Ek2 - Ek1
kde
.
Pohyb strely sa vplyvom odporovej sily zastaví, preto jej rýchlosť na konci
pohybu bude nulová. Potom aj
Ek2 = 0.
Úpravou
Strela prenikne do hĺbky 18 cm.
Príklad
2.3.4: Vypočítajte okamžitý výkon sily v čase 3 s z príkladu
2.3.1,
ak pôsobisko sily
sa posúva po krivke
.
Riešenie:
1.
spôsob
Okamžitý výkon je definovaný vzťahom
V
príklade 2.3.1 sme vypočítali závislosť práce od času
. Potom okamžitý výkon
a
v čase t = 3 s
P = 128 W.
Okamžitý výkon sily v čase 3 sekundy je 128 W.
2.
spôsob:
Pri výpočte okamžitého výkonu môžeme vychádzať aj zo vzťahu
(1).
V príklade 2.3.1 sme vypočítali rýchlosť
, pričom sila je daná
.
Potom
dosadením do vzťahu (1)
, čo je rovnaký tvar ako pri počítaní výkonu pri 1. spôsobe. Ďalej
postupujeme rovnako ako v prvom prípade.
Príklad
2.3.5: Na časticu hmotnosti 0,02 kg pôsobí sila veľkosti
F = 0,6 t (N). Vypočítajte hodnotu impulzu sily a veľkosť
rýchlosti telesa v čase 2 s, ak na začiatku bolo teleso v pokoji a smer rýchlosti
bol rovnaký ako smer pôsobiacej sily.
Riešenie: Poznáme hmotnosť častice, jej počiatočnú rýchlosť v1 = 0
a veľkosť pôsobiacej sily, ktorá sa mení s časom. Na výpočet impulzu použijeme
vzťah (2.3.13), ktorého veľkosť
(1)
dosadením
za silu do (1)
Veľkosť impulzu sily je 1,2 N.s.
Na výpočet veľkosti rýchlosti telesa v čase 2 s použijeme vzťah (2.3.15), pretože hybnosť telesa súvisí s jeho rýchlosťou. Zo zadania vyplýva,
že teleso sa bude pohybovať v smere sily preto tento vzťah upravíme
(2)
kde p1 je hybnosť častice v čase t1 = 0 s,
p2 je hybnosť častice v čase t2 = 2 s.
Hybnosť častice p2 = m v2 a
p1 = m v1 = 0.
Dosadením do (2)
m v2 - 0 = I
Veľkosť rýchlosť častice v čase 2 s je 60 m/s.
Príklad
2.3.6:
Stála sila F pôsobí na teleso tiaže G. Za akú dobu
sa pritom zväčší rýchlosť telesa na n-násobok pôvodnej rýchlosti
v0, ktorou sa teleso vyznačovalo v okamihu, keď sila začala
naň pôsobiť?
Riešenie:
Označme
čas, v ktorom má teleso
rýchlosť v = nv0 (1), pričom v0
je počiatočná rýchlosť. Zaujíma nás doba, počas ktorej pôsobí sila na
teleso, teda časový účinok sily - impulz. Sila je stála, potom pre
vyjadrenie impulzu použijeme vzťah (2.3.14) v skalárnom tvare I = FDt
(2) (predpokladáme, že smer pôsobiacej sily je rovnaký ako smer rýchlosti
telesa). Časový interval Dt
= t - t0 (3), kde t0 = 0 s je čas
na začiatku pôsobenia sily na teleso. Pôsobením sily dôjde k zväčšeniu rýchlosti
z v0 na v, resp. zmene hybnosti z p0 na
p. Dôsledkom impulzu sily I = Dp = p
- p0 (4), kde p0 je hybnosť telesa na začiatku
v čase t0 a p je hybnosť telesa v čase t.
Použitím vzťahov (2) a (4)
FDt = Dp = p
- p0 (5)
a
dosadením (3) do (5)
F(t - t0) = p - p0
úpravou
(6)
Na
vyjadrenie p a p0 použijeme vzťah (2.1.1) v skalárnom
tvare (p, p0 majú rovnaký smer ako v, v0),
p = mv (7) a p0 = mv0
(8). Použitím vzťahov (6), (7) a (8)
pričom
hmotnosť vyjadríme zo vzťahu pre tiaž (2.4.2.)
,
potom
(9)
Dosadením (1) do (9) za rýchlosť v a úpravou
(10)
Doba, za ktorú sa zväčší rýchlosť telesa na n-násobok je daná vzťahom (10).
Späť
Príklad
2.3.7: Basedbalová loptička hmotnosti 140 g letí tesne pred odpálením
vodorovne rýchlosťou 39 m/s. Nenarazí na pálku kolmo, ale sa od nej odrazí
pod uhlom 30 stupňov rýchlosťou 45 m/s. Vypočítajte priemernú silu, ktorou
pálka na loptičku pôsobila, ak zrážka prebehla za 1,2 ms.
Riešenie: Označme
rýchlosť loptičky pred odpálením v1 = 39 m/s,
po odpálení v2 = 45 m/s a silu, ktorú chceme
vypočítať
, uhol pod ktorým sa loptička odrazila a = 300
a jej hmotnosť m = 140 g. Doba zrážky loptičky s pálkou je
Dt
= 1,2 ms. Na výpočet premennej sily použijeme vzťah (2.3.16) (ide o
nárazovú silu), ktorý pre naše účely napíšeme v tvare
,
odtiaľ
(1).
Aby sme mohli vypočítať premennú silu, musíme vedieť hodnotu impulzu a
doby, za ktorú zrážka nastala.
Obr. 2.3.13
V
našom prípade je impulz daný vektorovým tvarom
, pretože sa mení smer rýchlosti resp. hybnosti po zrážke.
Veľkosť
impulzu
(2)
a na jej výpočet musíme vedieť veľkosti jeho jednotlivých zložiek
impulzu:
, kde
.
Podľa
obr. 2.3.10 vzhľadom na zvolený súradnicový systém: v1x =
-v1, v1y = 0, v2x =
v2cos a,
v2x =
v2sin a.
Potom pre veľkosť zložiek impulzu:
Ix = p2x
-
p1x =
mv2x - mv1x= mv2cos a
+ mv1
(3)
Iy = p2y
-
p1y =
mv2y - mv1y= mv2sin a
+ m.0
(4).
|
Pri výpočte veľkosti impulzu bol použitý vzťah pre výpočet veľkosti vektora. |
Dosadením
(3), (4) do (2)
(5)
a pre priemernú silu
.
Použitím číselných hodnôt
Priemerná sila, ktorou pálka pôsobila na loptičku pri zrážke je približne
9500 N.
Príklad 2.3.8: Dokážte, že tiažové pole Zeme je konzervatívne silové pole.
Riešenie: Pri dokazovaní budeme predpokladať, že premiestňujeme guľôčku o hmotnosti m v gravitačnom poli po dvoch rôznych cestách (obr. 2.3.11) z bodu (1) do bodu (2). Označme h1 výšku bodu (1) a h2 výšku bodu (2) vzhľadom na zemský povrch.
Obr. 2.3.14
Silu,
ktorou premiestňujeme guľôčku označme F´ a smer jej posunutia po dráhe
je daný elementárnym posunutím
. Vypočítame akú prácu vykoná sila pri premiestňovaní guľôčky po oboch
dráhach. Smer posunu z bodu (1) do bodu (2) udáva
.
Dráha a - zelená dráha
Na
výpočet práce použijeme vzťah (2.3.19)
Obr. 2.3.15
V tomto prípad má sila rovnaký smer ako elementárne posunutie a poloha prvého
(druhého) bodu je daná
h1, ( h2).Využitím týchto podmienok(obr. 2.3.12) potom
práca
kde
a cos a = cos
00 = 1.
Potom
Dráha b - oranžová dráha
Použijeme opäť vzťah (2.3.19) na výpočet práce
v
tomto prípade sa pôsobisko sily pohybuje po krivke, teda poloha
sa stále mení. Jej smer budeme popisovať vzhľadom na vektor
, ktorý určuje posunutie z bodu (1) do (2) v horizontálnom smere (obr.
2.3.13a). Potom pre dr a dh platí vzťah
(obr. 2.3.13b) odkiaľ dh = dr cos
a.
|
|
Obr. 2.3.16a |
2.3.16 b |
Potom použitím vzťahu
Práca W1 = W2, gravitačné pole je konzervatívne.
Príklad 2.3.9: Pomocou predchádzajúceho príkladu odvoďte potenciálnu energiu tiažového poľa v malej výške nad povrchom Zeme.
Riešenie:
Predpokladajme, že výšky bodov (1) a (2), ktoré sme označili h1
a h2 z predchádzajúceho príkladu sú oproti polomeru Zeme
oveľa menšie. Vonkajšia sila
, ktorou premiestňujeme teleso z bodu (1) do bodu (2) prekonáva tiažovú silu
. Pre veľkosť vonkajšej sily potom platí F´ = mg. Dosadením
výsledku pre prácu
vonkajšej sily z predchádzajúceho príkladu
W = F´(h2 - h1) = mg(h2
- h1) = mgh2
-mgh1.
Ak
h1
= 0 potom pre teleso hmotnosti m nachádzajúce sa v nie veľkej výške
h nad zemským povrchom v tiažovom poli Zeme platí, že Ep
= mgh (*).
Potenciálna energia tiažového poľa v malej výške nad povrchom Zeme je
daná vzťahom Ep
= mgh.
|
V rovnakej výške h nad zemským povrchom je rovnaká potenciálna energia. Hladina, na ktorej je rovnaká potenciálna energia sa nazýva hladina potenciálnej energie. Pri riešení príkladov je vhodné si zvoliť nulovú potenciálnu hladinu. |
Príklad 2.3.10: Do nádrže, ktorá je vo výške 18 m, treba nečerpať za 5 hodín 1000 hl vody. Aký výkon musí mať motor čerpadla?
Riešenie:
Výkon
motora je daný vzťahom (2.3.10)
(1)
kde t = 5 h. Prácu koná čerpadlo, ktoré premiestňuje vodu
do výšky h = 18 m, teda spôsobuje zmenu polohy vody. Použitím
vzťahu (2.3.21), pre prácu čerpadla platí W = DEp= Ep1- Ep0,
kde Ep0 je potenciálna energia na povrchu Zeme, (ktorej hodnotu si volíme za nulovú Ep0 = 0),
Ep1 je potenciálna energia vo výške h.
Použitím vzťahu (*)
z predchádzajúceho príkladu pre Ep, potom práca W =
mgh - 0 (2). Dosadením (2) do (1)
kde
m = rV
potom
.
Dosadením číselných hodnôt
.
Výkon motora musí byť 981 W, aby načerpal do výšky 18 m 1000 hl vody.
Príklad
2.3.11: Nech hmotný bod vykonáva pohyb po krivke ako je to na obr. 2.3.
14. a) Aká bude jeho rýchlosť v bode C, ak je vypustený z bodu B, kde vB
= 0 m/s? b) Akú rýchlosť máme udeliť hmotnému bodu v bode B, aby
pri svojom pohybe dosiahol bod K?
Riešenie:
Pri výpočte použijeme zákon zachovania mechanickej energie, podľa ktorého
je súčet kinetickej a potenciálnej energie v každom bode konzervatívneho
silového poľa konštantný a rovný celkovej mechanickej energii.
a) Zaujíma nás rýchlosť bodu v bode C, ktorý bol vypustený z bodu B, teda budeme
popisovať celkovú mechanickú energiu vzhľadom na tieto dva body (B a C).
Kinetická energia závisí od rýchlosti a je daná vzťahom
a potenciálne energia závisí od výšky Ep = mgh.
Zvoľme za nulovú potenciálnu hladinu, hladinu ktorá prechádza bodom C (EpC
= 0).
bod B: rýchlosť je vB = 0, teda EkB
= 0
(1), vzhľadom na EpC
= 0
je poloha bodu B vo výške h, teda EpB
= mgh
(2). Celková mechanická energia EB
= EkB
+ EpB
(3).
bod C:
rýchlosť označme vC, teda
(4) a potenciálna energia je EpC
= 0
(5). Celková mechanická energia EC
= EkC
+ EpC
(6).
Zo zákona zachovania mechanickej energie vyplýva, že
EB = EC
= konšt. (7).
Obr.2.3.17
Dosadením
(3) a (6) do (7)
EBk
+ EBp
= EkC
+ EpC
.
Využitím (1), (2),
(4) a (5) potom rovnicu prepíšeme na tvar
odtiaľ pre rýchlosť v bode C
(*) .
Rýchlosť v bode C je daná vzťahom (*).
Keďže predpokladáme pohyb v poli konzervatívnych síl (bez trenia) bod sa
bude stále pohybovať medzi bodmi B a D, aby sa dostal vyššie nad bod D (výšku
h) musíme mu udeliť v bode B rýchlosť.
b) Teraz nás
zaujíma rýchlosť v bode B, ktorú máme udeliť bodu, aby dosiahol bod K.
Teda budme určovať
celkovú mechanickú energiu vzhľadom na body (B a K).
bod B: rýchlosť
vB nie je nulová, teda
(7), vzhľadom na EpC
= 0
(8) je poloha bodu B vo výške h, teda EpB
= mgh
(9). celková mechanická energia EB
= EkB
+ EpB
(10).
bod K: bod sa nachádza vzhľadom na EpC = 0 vo výške h + h1, potom EpK = mg(h + h1) (11), rýchlosť bodu v K je vK = 0 (dosiahne bod K, zastaví sa ), EkK = 0 (13). Celková mechanická energia EK = EkK + EpK (14).
Zo zákona zachovania mechanickej energie
EB = EK
= konšt. (15).
Dosadením (10) a (14) do (15)
EkB
+ EpB
= EkK
+ EpK
.
Využitím (7), (9), (11) a (13)
odtiaľ pre rýchlosť
(**)
Aby hmotný bod pri svojom pohybe dosiahol bod K, treba mu udeliť v bode B rýchlosť, ktorá je daná vzťahom (**).
Ak by sme chceli, aby sa hmotný bod dostal do vyššej výšky musíme mu udeliť väčšiu rýchlosť ako je daná vzťahom (**).
Príklad 2.3.12:
Teleso bolo vyhodené zvisle
nahor rýchlosťou 20 ms-1. V akej výške sa jeho kinetická
energia rovná potenciálnej?
Riešenie:
Zaujíma nás v akej výške h bude
Ek1
= Ep1
(1).
Pri výpočte použijeme zákon zachovania mechanickej energie pomocou,
ktorého vyjadríme celkovú mechanickú energiu v bode na začiatku pohybu, označme ho
(0) a v bode (1) vo výške h. Za nulovú potenciálnu hladinu
zvolíme hladinu prechádzajúcu povrchom Zeme Ep0
= 0.
Kinetická energia závisí od rýchlosti, so zvyšujúcou výškou h sa
zmenšuje. Potenciálna energia závisí od výšky a vzhľadom na nulovú
potenciálnu hladinu sa so zväčšujúcou výškou zväčšuje (obr. 2.3.).
Obr. 2.3.18
V
bode 0 je
(2) Ep0 = 0
(3) a celková mechanická energia E0
= Ek0
+ Ep0
(4). V bode 1 označme kinetickú energiu Ek1
a potenciálnu energiu Ep1 = mgh (5), celková
energia je E1
= Ek1
+ Ep1
(6).
Podľa zákona zachovania mechanickej energie
E0
= E1
(7).
Použitím (4) a (6)
Ek0
+ Ep0
= Ek1
+ E1
(8)
Ak do (8) dosadíme (2), (3), (1) a (5)
odtiaľ pre h
(9)
dosadením číselných hodnôt
Vo výške 10,19 m bude potenciálna energia rovnaká ako kinetická.