2.2 Pohybová rovnica Druhý typ pohybovej rovnice     3/5

Predchádzajúca strana

Úvod

Ďalšia strana


Druhý typ pohybovej rovnice
Ak poznáme hmotnosťtelesa (HB) a pôsobiacu silu na teleso, môžeme pomocou známej sily, určiť priebeh rýchlosti a trajektóriu dráhy pohybu. Sila  môže byť funkciou času, funkciou polohy, funkciou rýchlosti hmotného bodu alebo môže mať konštantnú hodnotu. 

Príklady zápisu sily:
 F = kt2    sila je úmerná druhej mocnine času
 F = 3x    sila sa priamoúmerne mení s dráhou v smere osi x
F = - kv  sila sa mení priamoúmerne s rýchlosťou, ale má opačný smer
F = 3 N   sila je konštantná


Rýchlosť a dráha pohybu hmotného bodu závisia nielen od pôsobiacej sily, ale aj od počiatočných podmienok t.j. od rýchlosti a dráhy v okamihu, keď na hmotný bod začala pôsobiť sila.

1. V prípade, ak sila je funkciou času, z pohybových rovníc (2.2.2) pre súradnice rýchlosti vx ,vy , vz vyplývajú vzťahy
 odtiaľ úpravou        (2.2.3a) 
 odtiaľ úpravou      (2.2.3b) 
 odtiaľ úpravou      .  (2.2.3c) 


Súradnice dráhy pohybu možno určiť pomocou rovníc (2.2.3) ich dosadením do súradníc dráhy
    (2.2.4a)
   (2.2.4b)
.    (2.2.4c)

Integračné konštanty v0x ,v0y ,v0z , x0 , y0 , z0 v rovniciach (2.2.3) a (2.2.4) sú určené počiatočnými podmienkami, ktorými vo všeobecnosti rozumieme súradnice hmotného bodu a súradnice jeho rýchlosti v ľubovoľnom zvolenom časovom okamihu t0.

 

Súradnice dráhy (2.2.4) dostaneme zo vzťahu pre rýchlosť hmotného bodu 
    resp.       úpravou       odtiaľ     .

 

Teda pomocou známej sily pri výpočte rýchlosti a dráhy hmotného bodu budeme integrovať.

 

Príklad 2.2.2

Kontrolka: Skúste vypočítať podobným spôsobom nasledujúcu úlohu. Teleso hmotnosti 10 kg sa pohybuje účinkom časovo premennej sily F= K(L - t), kde K = 200 N/s a L = 2 s. Za koľko sekúnd sa teleso zastaví, ak v čase 0 s malo rýchlosť v0 = 0,2 m/s a sila mala smer rýchlosti? Akú dráhu prejde teleso do zastavenia?  (t = 4,0045 s, s = 107,47 m)

 

2. V prípade, že sila nie je funkciou času, ale rýchlosti alebo dráhy je postup úpravy odlišný; upravuje sa diferenciálna rovnica.

Príklad 2.2.3

Kontrolka: Skúste vypočítať podobným spôsobom nasledujúcu úlohu. Na hmotný bod hmotnosti 0,1 kg začne pôsobiť v smere pohybu sila, ktorá je nepriamoúmerná jeho rýchlosti, kde k = 0,8 kgm2/s3. Za aký čas od začiatku pôsobenia sily sa rýchlosť hmotného bodu strojnásobí, ak počiatočná rýchlosť hmotného bodu je v0 = 10 m/s.  (t = 50 s)


3. Ak by pôsobiaca sila bola konštantná, potom pri výpočte rýchlosti použijeme rovnice (2.2.3), v ktorých F pokladáme za konštantu a na výpočet dráhy použijeme rovnice (2.2.4).

Príklad 2.2.4