Skaláry a vektory
Operácie s vektormi
Opačný vektor
Rovnaké vektory
Súčet vektorov
Rozdiel vektorov
Súčin vektora a skalára
Skalárny súčin
Vektorový súčin
Rozklad vektora na zložky
Diferenciálne
a integrálne operácie s vektormi
Skaláry a vektory
Vo fyzike sa najčastejšie stretávame s fyzikálnymi veličinami, ktoré môžeme
rozdeliť na skaláry a vektory.
Skalár je fyzikálna veličina, ktorá je úplne určená svojou veľkosťou,
t.j. číselnou hodnotou v príslušných jednotkách. K týmto veličinám patrí
napr. dĺžka, hmotnosť, čas, teplota, energia, elektrický náboj a iné.
Príklady: m = 50 kg, E = 2 J,
t = 200 C
Vektor je taká fyzikálna veličina, ktorá je určená svojou veľkosťou
a smerom. Príkladom vektorových veličín môže byť rýchlosť, hybnosť,
sila, moment sily, intenzita elektrického poľa a ďalšie.
Príklady: sila, moment sily, rýchlosť:
Pre označenie vektorov sa používajú písmená so šípkami alebo vodorovnými
čiarkami alebo tučné písmená v tlačenom texte (
, a, b).
Graficky sa vektory označujú orientovanými úsečkami, pričom dĺžka
úsečky vyjadruje veľkosť vektora a šípka určuje jeho smer (Obr. 1).
Obr. 1: Smer vektora udáva šípka a dĺžka úsečky
jeho veľkosť.
Každý vektor môžeme vyjadriť súčinom veľkosti daného vektora a
jednotkového vektora, ktorého smer je totožný so smerom daného vektora. Veľkosť
jednotkového vektora sa rovná +1. Teda pre vektor
môžeme písať
kde
je veľkosť
vektora
a
je jeho jednotkový vektor (Obr. 2).
Obr. 2: Vektor
a
jeho jednotkový vektor.
Operácie s vektormi
Pri počítaní so skalármi a vektormi sa často stretávame s operátormi,
ktoré značne zjednodušujú výpočty. Operátorom rozumieme znak alebo súbor
znakov, ktoré definujú určitú operáciu s príslušnou funkciou.
Opačný vektor
Vektor
má
rovnakú veľkosť, ale opačný smer ako vektor
.
Obr. 3: Opačný vektor ku vektoru
.
Rovnaké vektory
Dva vektory
a
považujeme za totožné,
keď majú rovnaké veľkosti aj rovnaké smery.
Obr. 4: Rovnaké vektory.
Súčet vektorov
Súčet dvoch
vektorov
a
je vektor
, ktorý
dostaneme, keď ku koncovému bodu vektora
pridáme vektor (Obr. 5a). Vektor
je určený začiatočnými bodom vektora
a koncovým bodom vektora
.
Vektor
dostaneme aj pomocou rovnobežníka zostrojeného
z vektorov a
.
Vektor
je potom určený uhlopriečkou
rovnobežníka (Obr. 5b).
Obr. 5: Súčet vektorov.
Pre súčet dvoch vektorov platí komutatívny zákon
Rozdiel vektorov
Rozdiel dvoch vektorov a je vektor
, ktorý
určíme podľa pravidla pre sčítanie dvoch vektorov tak, že ku vektoru
pripočítame vektor
.
Súčin vektora a skalára
Súčinom skalárnej veličiny s a vektora dostaneme vektor
, pre
ktorý platí
.
pričom ak s > 0, vektor má rovnaký smer
ako, a ak
s < 0, vektor
má opačný smer než . Pre veľkosť vektora
platí
.
Skalárny súčin
Skalárny súčin dvoch vektorov a , ktorý sa označuje
je definovaný vzťahom
v ktorom
a
sú veľkosti
príslušných vektorov a j je uhol, ktorý zvierajú
vektory a
. Výsledkom skalárneho násobenia je skalár.
Špeciálne prípady:
1. keď vektor
je rovnobežný
s vektorom skalárny súčin
(1) (Obr. 6a),
2. ak vektor
je kolmý na
vektor , potom
(2) (Obr. 6b).
Obr. 6: Špeciálne prípady skalárneho súčinu dvoch
vektorov.
 |
Vo
vzťahu (1) cos j = 1,
pretože j = 00
pre skalárny súčin a vo vzťahu (2) cos
j = 0, pretože j = 900. |
Pre skalárny súčin platí
komutatívny zákon
distributívny zákon
Vektorový súčin
Vektorovým násobením vektora s vektorom
, ktorý sa označuje
dostaneme vektor
, ktorého veľkosť
je definovaná vzťahom
.
Vektor
leží v priamke, ktorá je kolmá na rovinu určenú vektormi
a
a smeruje na tú stranu uvažovanej roviny, z ktorej
stotožnenie prvého vektora () s druhým
() na kratšej
ceste sa javí proti smeru hodinových ručičiek (obr.7).
Obr. 7: Výsledný vektor vektorového súčinu leží na
priamke kolmej na rovinu určenú vektormi a a b, v tomto prípade
smeruje nahor.
Špeciálne prípady:
1. ak vektory
a sú
rovnobežné, potom 
(3),
2. ak vektory
a
sú navzájom
kolmé, potom veľkosť vektora
je
Pre vektorový súčin
neplatí komutatívny zákon, možno však písať
platí distributívny zákon
|
Vo
vzťahu (3) sin j = 0,
pretože j = 00 pre
vektorový súčin a vo vzťahu (4) cos
j = 1, pretože j = 900. |
Ďalšie zdroje:
http://www.kf.elf.stuba.sk/~cerven
v časti domáce animácie si pozrite Rýchlokurz vektorov